نوع مقاله : مقاله علمی

نویسندگان

• ابراهیم سهرابی
• مهدی جباری نوقابی

گروه آمار، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران

چکیده

پیشینه و اهداف: توزیع وایبول که فیزیک‌دانی سوئدی به نام وایبول معرفی کرد، امروزه رایج‌ترین مدل مورد استفاده در مطالعات قابلیت اطمینان، طول عمر، کنترل کیفیت و به‌طور وسیعی در شاخه‌‌‌های مختلف علوم از جمله بیمه، پزشکی و مهندسی استفاده ‌می‌شود. این توزیع برای الگوسازی داده‌‌‌های مختلف، انعطاف‌پذیری زیادی دارد. هدف اصلی این پژوهش محاسبة حق‌بیمه و برآورد پارامترهای توزیع وایبول با استفاده از روش‌های مختلف برآورد است
روش‌شناسی: در این مقاله به برآورد پارامترهای توزیع وایبول و حق‌‌‌بیمة خالص با استفاده از برآودگرهای گشتاوری، ماکسیمم درست‌نمایی، کمترین ‌‌‌توان‌‌‌های ‌‌‌دوم خطا‌‌‌، کمترین توان‌‌‌های دوم وزنی، صدکی، کرامر_– فون_– میسز، آمیختة گشتاوری و ماکسیمم درست‌نمایی در حضور داده‌‌‌های پرت پرداخته شده است. از نرم‌‌‌افزار R برای شبیه‌سازی و محاسبات عددی و از نرم‌‌‌افزار Easyfit برای برازش توزیع وایبول به داده‌‌‌های مثال واقعی استفاده شد. در پایان دو مثال واقعی برای به‌دست آوردن برآوردگرهای متفاوت با حق‌بیمه درصورتی‌که دو پارامتر β و θ مجهول و α معلوم است، ارائه شده است.
یافته‌ها: در این پژوهش اریبی، میانگین توان ‌‌‌دوم خطای حق‌بیمة خالص‌‌ و پارامترهای مجهول β و θ با استفاده از برآوردگرهای مختلف برای داده‌‌‌های توزیع وایبول و همچنین واریانس تعمیم‌یافتة پارامترهای مجهول β و θ به‌‌‌دست آمد.
نتیجه‌گیری: در این قسمت به بررسی و مقایسة برآوردگرها با استفاده از داده‌های واقعی و شبیه‌سازی‌شده پرداخته شد که برای داده‌‌‌های واقعی در روش‌‌‌های مختلف k-max متفاوت به‌دست آمد. برای نمونه، در روش گشتاوری k-max برابر 5 شد که براساس آن حق‌بیمة خالص‌‌ 3.37657 است. در داده‌های شبیه‌سازی‌شده نیز با توجه به k (تعداد داده‌های دورافتاده)، n (حجم نمونه) و مقادیر β و θ، مقادیر اریبی، میانگین توان دوم خطا و واریانس تعمیم‌یافتة حق‌بیمه و برآوردگرهای مختلف به‌‌‌دست آمد که برای نمونه برای n=10، k=1، β=1.5، θ=3 و70 α= با مقایسة اریبی و واریانس تعمیم‌یافته برآوردگرها به این نتیجه می‌‌‌رسیم که براساس اریبی، برآوردگر صدکی دارای عملکرد بهتری نسبت به دیگر برآوردگرهاست، یعنی دارای اریبی کمتری است و با توجه به واریانس تعمیم‌یافته، برآوردگر ماکسیمم درست‌نمایی دارای عملکرد بهتری نسبت به سایر برآوردگرهاست و برآوردگرها سازگارند (با افزایش حجم نمونه واریانس تعمیم‌یافته کاهش می‌‌‌یابد). براساس میانگین توان دوم خطا، برآورد گشتاوری دارای عملکرد بهتری نسبت به سایر برآوردگرهاست.

کلیدواژه‌ها

• برآورد
• توزیع وایبول
• حق‌بیمة خالص‌‌
• داده‌‌‌های دورافتاده

موضوعات

• قیمت‌گذاری محصولات بیمه‌ای

عنوان مقاله [English]

Estimation of the parameters of Weibull distribution and net premium against outliers

نویسندگان [English]

• E. Sohrabi
• M. Jabbari Nooghabi

Department of Statistics, Ferdowsi University of Mashhad, Mashhad, Iran

چکیده [English]

BACKGROUND AND OBJECTIVES: Weibull distribution, introduced by a Swedish physicist named Weibull, is the most common model used in studies of reliability, longevity, quality control. It is widely used in various fields of science including insurance, medicine, and engineering . This distribution is flexible enough to model different data. The main goal of this research is to calculate insurance premiums and estimate Weibull distribution parameters using various estimation methods.
METHODS: In this article, the parameters of Weibull distribution and net premium have been estimated using moment estimation, maximum likelihood, least squares of error, weighted least squares, percentage, Cramer-Von- Mises, mixture of moment and maximum-likelihood against outliers. R software was used for simulation and numerical calculations purposes and also Easyfit software was used to fit Weibull distribution to the real example data. In the end, two real data examples for obtaining various estimators of the premium in case of unknown parameters β and θ and known α are presented.
FINDINGS: In this research bias, the mean square error of net premium and unknown parameters β and θ were obtained using different estimators for Weibull distribution data as well as the generalized variance of unknown parameters β and θ.
CONCLUSION: In this part, the evaluation and comparison of the estimators using real and simulated data was done, which was obtained by different for real data. For example, in the moment method, was equal to 5, based on which the net premium is 3.37657. In the simulated data, according to k (number of outliers), n (sample size) and β and θ values, bias values, mean squared error and generalized variance of premium and different estimators were obtained. As an example, for n=10, k=1, β=1.5, θ=3 and α=70, by comparing the bias and generalized variance of the estimators, we come to the conclusion that based on the bias, the percentile estimator has a better performance than the other estimators. Simply put, it has less bias and according to the generalized variance, the maximum likelihood estimator has a better performance than other estimators and the estimators are consistent (the generalized variance decreases with the increase of the sample size). Based on the mean square error, the moment estimation has a better performance than other estimators.

کلیدواژه‌ها [English]

• Estimation
• Net premium
• Outliers
• Weibull distribution